Comment calculer les coordonnées d'un barycentre de trois points
Posté par thierno, mise à jour le 08/04/2016 à 16:48:26
RepérageComment calculer les coordonnées d'un barycentre de trois points
Posté par said
Soit ABC un triangle. Le barycentre G des points pondérés {(A ; a), (B ; b), (C ; c)} existe si et seulement si a+b+c est différent de 0.Pour déterminer le point G, on applique ce théorème :
Pour tout point M, $$\overrightarrow{MA} + b \overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG} $$
Pour faciliter le calcul, on peut remplacer dans cette formule M par A ou par B ou par C.
Pour M = A, On aura alors :
$$a\overrightarrow{AA} + b\overrightarrow{AB} +c\overrightarrow{AC} = (a+b+c)\overrightarrow{AG} <==> b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC} = (a+b+c)\overrightarrow{AG}$$
Donc $$\overrightarrow{AG} = ( b\overrightarrow{AB}+ c\overrightarrow{AC}) / (a+b+c)$$
Le cas où on est dans un repère, on en déduit alors les coordonnées du point G :
$$ xG = \frac{axA + bxB + cxC}{a+b+c}$$
$$ yG = \frac{ayA + byB + cyC}{a+b+c}$$
Exemple :
A (2,-3), B(4,3) et C(3,2) sont des points du repère ($$O,\vec{i},\vec{j}$$).
Si G (xG, yG) est le barycentre du triangle ABC, alors :
$$1\overrightarrow{OA}+1\overrightarrow{OB}+1\overrightarrow{OC} = (1+1+1) \overrightarrow{OG}$$
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG} $$
$$\overrightarrow{OG} = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})/3$$
On en déduit alors que
xG = (xA + xB + xC)/3 = 9/3 =3
yG = (yA + yB + yC)/3 = 2/3
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